第一次尝试用LaTeX与Markdown的结合来做控工笔记！
10.12更新了增加了复微分定理与相关函数的象函数

定义

函数$ x(t) $的拉式变换：$ L[x(t)]=X(s)=\displaystyle\int_0^{\infty} x(t)e^{-st} dt $，其中$ s=\sigma+j\omega $

类似的，傅里叶变换$ \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t} dt $

拉式反变换（一般少用$ x(t)=L^{-1}[X(s)] = \dfrac{1}{2\pi j}\displaystyle\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty} X(s)e^{st} dt \quad t\in(0,+\infty) $

八种典型函数

1） 单位阶跃函数 $ L[1(t)]=\int_0^{\infty} 1(t)e^{-st} dt=\dfrac{1}{s} $

2） 指数函数 $ L[e^{-at}] =\int_0^{\infty} e^{-at} \cdot e^{-st} dt = \int_0^{\infty} e^{-(x+a)t} dt = \dfrac{1}{s+a}$

3） 正弦函数 $ L[sin(wt)]=\dfrac{\omega}{\omega^2 + s^2} $

4） 余弦函数 $ L[cos(wt)]=\dfrac{s}{\omega^2 + s^2} $

5） 单位脉冲函数，作用时间短，冲量正好为1

$ \delta(t)=\begin{cases} 0, \quad (others) \ \lim_\limits{\epsilon \to0} \dfrac{1}{\epsilon},\quad (0<t<\epsilon) \end{cases} $

对应拉氏变换 $ L[\delta(t)]=1 $（利用洛必达法则）

6） 幂函数 $ t^n $的象函数$ L[x(t)]=\dfrac{n!}{s^{n+1}} $

7） 幂函数变式一：单位速度函数（斜坡函数）

$ x(t)=\begin{cases} 0 \quad t<0\t \quad t\ge0 \end{cases} $

对应拉氏变换 $ L[x(t)]=\dfrac{1!}{s^2}=\dfrac{1}{s^2} $，即可表示为 $ x(t)\xrightarrow{L} \dfrac{1}{s^2} $

8） 幂函数变式二：单位加速度函数

$ f(t)=\begin{cases} 0 \quad t<0 \ \dfrac{1}{2}t^2 \quad t\geq 0 \end{cases} $

对应变换$ L[x(t)]=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2!}{s^3}=\dfrac{1}{s^3} $，即可表示为$ x(t)\xrightarrow{L} \dfrac{1}{s^3} $

相关定理

1） 叠加定理：齐次性、叠加性

2） （重点）微分**定理：

$ L\bigg[\dfrac{d}{dt} x(t)\bigg]=sX(s)-x(0^+) $

$ L \bigg[\dfrac{d^2x(t)}{dt^2} \bigg]=s^2X(s)-sx(0^+)-x’(0^+) $

$ L\bigg[\dfrac{d^nx(t)}{dt^n} \bigg]=s^nX(s)-s^{n-1}x(0^+)-s^{n-2}x’(0^+)-\cdots-x^{n-1}(0^+) $

因此，当初始条件全为0是，则$ \dfrac{d^n}{dt^n}x(t)\Leftrightarrow s^nX(s) $

3） 积分定理

$L\bigg[\displaystyle\int x(t)dt\bigg] = \dfrac{X(s)}{s} + \dfrac{x^{-1}(0^+)}{s} ​$

$L\bigg[\displaystyle\idotsint x(t)(dt)^n \bigg] = \dfrac{X(s)}{s^n} + \dfrac{x^{-1}(0^+)}{s^n} + \dfrac{x^{-2}(0^+)}{s^{n-1}} + \cdots + \dfrac{x^{-n}(0^+)}{s} $

当我读到传递函数环节时看到了积分定理的重要性！

4） 拉式反变换 $ x(t)=\dfrac{1}{2\pi j} \displaystyle\int_{a-j\infty}^{a+j\infty} X(s)e^{st}ds $，一般使用较少

5） 卷积定理$L[f(t)*g(t)]=F(s)G(s)$

其中$f(t)*g(t)$即为两函数的卷积，必须符合条件：当$t<0$时，$f(t)=g(t)=0$，则卷积可以表示为

$$ f(t)*g(t)=\displaystyle\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau = \displaystyle\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)d\tau $$

举例

已知$f(t)=t$，$g(t)=t^2$

则$ f(t)*g(t)=\displaystyle\int_0^t (t-\tau)\cdot{\tau}^2 d\tau = \dfrac{1}{3}\tau^3 t-\dfrac{1}{4}\tau^4 \bigg|_0^t = \dfrac{1}{12}t^4$

所以$ \mathcal{L}(\dfrac{1}{12}t^4)=\dfrac{1}{12}\cdot\dfrac{4!}{s^5} =\dfrac{2}{s^5}$

而由$ \mathcal{L}(t) = \dfrac{1}{s^2} $，$ \mathcal{L}(t^2) = \dfrac{2}{s^3} $可知卷积公式成立！

6） $ f(\dfrac{t}{a}) $的象函数

$L\bigg[f(\dfrac{t}{a})\bigg]=aF(as) \quad 其中 a=costant>0$

举例

$L[e^{-t}] = F(s) = \dfrac{1}{s+1} $，则$ L[e^{-t/a}] = aF(as)=\dfrac{a}{as+1} $

7） 复微分定理（少数场合可能使用）

若$ L[f(t)]=F(s) $，则除了$ F(s) $的极点之外，有：

$ \dfrac{d}{ds}F(s)=-L[tf(t)] $

$ \dfrac{d^2}{ds^2}F(s)=L[t^2f(t)] $

$ \dfrac{d^n}{ds^n}F(s)=(-1)^n L\bigg[t^n f(t)\bigg] \quad(n=1,2,3,\cdots)$

8） $ \dfrac{x(t)}{t} $的象函数 $ L\bigg[\dfrac{x(t)}{t}\bigg]=\displaystyle\int_t^{\infty} X(s) ds $

手机端对于MathJax的优化不好，建议在PC端阅读！

本文暂缺初值定理与终值定理，原因在于LaTeX与markdown之间在于_公式_渲染的不同，具体在网盘（pass: wxpl）可以下载

（最后更新于2017.10.12）

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本文链接：https://hibetterheyj.github.io/weblog/2017/10/07/basic-notes-of-Laplace-transform-under-LaTeX/